Zaklęcie tangensa
Czyli $$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$ dla dowolnego kąta $\alpha$.
To - tak jak jedynka trygonometryczna - również jest tożsamość trygonometryczna. To znaczy, że powyższa równość jest zawsze prawdziwa - dla każdej możliwej miary kąta $\alpha$.
Przykład 1.
Niech $\sin\alpha=\dfrac{3}{4}$, gdzie $\alpha$ to kąt ostry. Oblicz tangens kąta $\alpha$.
Najpierw skorzystamy z jedynki trygonometrycznej, by wyliczyć cosinus kąta $\alpha$:
$$sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$
$$\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha$$
Teraz za $\sin\alpha$ podstawimy $\dfrac{3}{4}$.
$$\cos^2\alpha=1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^2$$
$$\cos^2\alpha=1-\dfrac{9}{16}$$
$$\cos^2\alpha=\dfrac{16}{16}-\dfrac{9}{16}$$
$$\cos^2\alpha=\dfrac{7}{16}$$
To równanie ma dwa rozwiązania.
(Nie wiesz czemu? Wyjaśnienie w Szkole Kwadratowej.)
$$\cos\alpha=\sqrt{\dfrac{7}{16}} \quad \vee \quad \cos\alpha=-\sqrt{\dfrac{7}{16}}$$
Ponieważ cosinus kąta ostrego jest dodatni, a $\alpha$ jest kątem ostrym, więc ujemne rozwiązanie odrzucimy.
Zatem:
$$\cos\alpha=\sqrt{\dfrac{7}{16}}$$
$$\cos\alpha=\dfrac{\sqrt{7}}{4}$$
Skoro mamy już sinus i cosinus kąta $\alpha$, to wyliczymy tangens kąta $\alpha$:
$$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$
$$\tg\alpha=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{7}}{4}}$$
$$\tg\alpha=\dfrac{3}{\sqrt{7}}=\dfrac{3\sqrt{7}}{7}$$
Pokażemy, że dla dowolnego dowolnego kąta $\alpha$ prawdą jest, że
$$\hspace{6cm} \tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$
Weźmy zatem dowolny kąt $\alpha$ i wyjdźmy od prawej strony równości.
Czym są $\sin\alpha$ i $\cos\alpha$?
Otóż
$$\hspace{6cm} \sin\alpha = \dfrac{ \textcolor{#c6da94}{a} }{ \textcolor{#cabdd2}{c} } \qquad \cos\alpha = \dfrac{ \textcolor{#87bfc2}{b} }{ \textcolor{#cabdd2}{c} }$$
Zatem
$$\hspace{6cm} \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\dfrac{ \textcolor{#c6da94}{a} }{ \textcolor{#cabdd2}{c} }}{\dfrac{ \textcolor{#87bfc2}{b} }{ \textcolor{#cabdd2}{c} }}= \frac{\textcolor{#c6da94}{a}}{\textcolor{#87bfc2}{b}}=\tg\alpha$$
Całkiem proste, prawda?