Jedynka trygonometryczna
Powyższe zaklęcie to właśnie jedynka trygonometryczna
Powiemy, że jedynka trygonometryczna jest tożsamością trygonometryczną, czyli jest zawsze prawdziwa - niezależnie od miary kąta $\alpha$.
Przykład 1.
Niech $\cos\alpha=\dfrac{2}{5}$, gdzie $\alpha$ jest kątem ostrym. Oblicz sinus kąta $\alpha$.
Skorzystamy z jedynki trygonometrycznej:
$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$
$$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha$$
Teraz za $\cos\alpha$ podstawimy $\dfrac{2}{5}$.
$$\sin^2\alpha=1-\left(\dfrac{2}{5}\right)^2$$
$$\sin^2\alpha=1-\dfrac{4}{25} \hspace{0.5cm}$$
$$\sin^2\alpha=\dfrac{25}{25}-\dfrac{4}{25} \hspace{0.2cm}$$
$$\sin^2\alpha=\dfrac{21}{25} \hspace{1cm}$$
To równanie ma dwa rozwiązania.
(Nie wiesz czemu? Wyjaśnienie w Szkole Kwadratowej.)
$$\sin\alpha=\sqrt{\dfrac{21}{25}} \quad \vee \quad \sin\alpha=\text{-}\sqrt{\dfrac{21}{25}}$$
Ponieważ sinus kąta ostrego jest dodatni, a $\alpha$ jest kątem ostrym, więc ujemne rozwiązanie odrzucamy.
Ostatecznie:
$$\sin\alpha=\sqrt{\dfrac{21}{25}}=\dfrac{\sqrt{21}}{5}$$
Prawdziwa jest więc następująca równość: $$\hspace{6cm}\textcolor{#c6da94}{a}^2+\textcolor{#87bfc2}{b}^2=\textcolor{#cabdd2}{c}^2$$ Podzielimy obustronnie przez $\textcolor{#cabdd2}{c}^2$: $$\hspace{6cm}\frac{\textcolor{#c6da94}{a}^2+\textcolor{#87bfc2}{b}^2}{\textcolor{#cabdd2}{c}^2}=\frac{\textcolor{#cabdd2}{c}^2}{\textcolor{#cabdd2}{c}^2}$$ Prawa strona równości to $1$, a lewą stronę trochę przekształcimy: $$\hspace{6cm}\frac{ \textcolor{#c6da94}{a}^2 }{ \textcolor{#cabdd2}{c}^2 }+\frac{ \textcolor{#87bfc2}{b}^2 }{ \textcolor{#cabdd2}{c}^2 }=1$$ $$\hspace{6cm}\left(\frac{ \textcolor{#c6da94}{a} }{ \textcolor{#cabdd2}{c} }\right)^2+\left(\frac{ \textcolor{#87bfc2}{b} }{ \textcolor{#cabdd2}{c} }\right)^2=1$$ Zaraz, zaraz... widzisz już, czym są $\dfrac{ \textcolor{#c6da94}{a} }{ \textcolor{#cabdd2}{c} }$ i $\dfrac{ \textcolor{#87bfc2}{b} }{ \textcolor{#cabdd2}{c} }$ ? $$\hspace{6cm}\dfrac{ \textcolor{#c6da94}{a} }{ \textcolor{#cabdd2}{c} } = \sin\alpha \qquad \dfrac{ \textcolor{#87bfc2}{b} }{ \textcolor{#cabdd2}{c} } = \cos\alpha$$ Do równania podstawimy sinusa i cosinusa: $$\hspace{6cm}\left(\sin\alpha\right)^2+\left(\cos\alpha\right)^2=1$$ A to przecież jedynka trygonometryczna: $$\hspace{6cm}\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$