Matura podstawowa z matematyki grudzień 2023

180 minut     46 punktów

Odp. C.
Korzystamy z praw działań na potęgach. $$\left(3^{-2,4} \cdot 3^{^{\normalsize{\frac{2}{5}}}}\right)^{\normalsize{\frac{1}{2}}} = 3^{^{\normalsize{{-\frac{24}{10} \cdot \frac{1}{2}}}}} \cdot 3^{^{\normalsize{\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2}}}} = 3^{^{\normalsize{-\frac{6}{5}}}} \cdot 3^{^{\normalsize{\frac{1}{5}}}} = 3^{^{\normalsize{-\frac{6}{5} + \frac{1}{5}}}} = 3^{^{\normalsize{-\frac{5}{5}}}} = 3^{^{\normalsize{-1}}}=\dfrac{1}{3}$$

Odp. D.
Korzystamy ze wzoru na różnicę logarytmów o takich samych podstawach: $$\log_a b - \log_a c = \log_a {\dfrac{b}{c}} \hspace{1.1cm}$$ $$\hspace{1cm} \log_2 96 - \log_2 3 = \log_2 \frac{96}{3} = \log_2 32 = 5$$

Odp. B.
Bank dolicza odsetki od kwoty bieżacego kapitału, więc korzystamy ze wzoru na procent składany: $$K=K_0(1+r)^n$$ gdzie $K$ - kapitał końcowy, $K_0$ - kapitał początkowy, $r$ - roczna stopa oprocentowania, $n$ - ilość okresów kapitalizacji
$$K_0=\dfrac{K}{(1+r)^n} \hspace{0.5cm}$$ $$\hspace{1.4cm} K_0=\dfrac{4851}{(1+0{,}05)^2}=4400\text{ zł}$$

Odp. A.
Korzystamy z interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej (odległości na osi liczbowej).

$|x-a| < b$ oznacza, że odległość $x$ od $a$ jest mniejsza od $b$
$|x-2| < 5$ oznacza, że odległość $x$ od $2$ jest mniejsza od $5$
$$x \in (-3,7)$$

Korzystamy z wiedzy o dowodzeniu podzielności.

Założenie:
$n = 2k + 1,  k \in \mathbb{Z}$

Teza:
$3n^2+4n+1 = 4l,  l \in \mathbb{Z}$

Dowód:
$L_T=3n^2+4n+1 = 3(2k + 1)^2+4(2k + 1)+1 = 3(4k^2+4k+1)+8k+5=12k^2+20k+8=4(\underbrace{3k^2+5k+2}_{\normalsize{\in \mathbb{Z}}})\text{ =}P_T$
$\hspace{16.8cm} \text{c.n.d.}$

Odp. C.
Korzystamy z wiedzy o układach równań liniowych.
Dany w zadaniu układ rozwiążemy metodą przeciwnych współczynników. Mnożymy pierwsze równanie przez $-2$, otrzymując poniższy układ: $$\begin{cases} -2x +6y -10 = 0 \\ \hspace{0.6cm} 2x + y + 3 = 0 \end{cases}$$ $$\hspace{1.4cm} 7y-7=0$$ $$\hspace{2.1cm} 7y=7$$ $$\hspace{2.2cm} y=1$$ Uwaga: Rozwiązaniem układu równań jest para liczb $(x,y)$, ale tylko w odpowiedzi C. mamy $y=1$, więc nie musimy już wyliczać $x$.

Odp. C.
Korzystamy z wiedzy o skracaniu wyrażeń wymiernych. $$\dfrac{x+3}{x^2+4x+4} \cdot \dfrac{x^2+2x}{2x+6} = \dfrac{\cancel{x+3}}{(x+2)\cancel{(x+2)}} \cdot \dfrac{x\cancel{(x+2)}}{2\cancel{(x+3)}}=\dfrac{x}{2x+4}$$

Odp. D.
Korzystamy z wiedzy o rozkładzie wielomianu.

Pierwiastkiem wielomianu $W$ jest $-1$, czyli $W(-1)=0$. $$0=-3(-1)^2-(-1)^2+k(-1)+1$$ $$0=-3-1-k+1 \hspace{2.2cm}$$ $$k=3 \hspace{4.3cm}$$

Odp. Rozwiązaniami równania są liczby: $(-\sqrt{5}),(-\dfrac{3}{2}),\sqrt{5}$.
Rozwiązujemy dane w zadaniu równanie wielomianowe metodą grupowania. $$\hspace{0.8cm} 2x^3+3x^2-10x-15=0$$ $$\hspace{0.6cm} x^2(2x+3)-5(2x+3)=0$$ $$\hspace{1.6cm} (2x+3)(x^2-5)=0$$ $$2(x+\dfrac{3}{2})(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})=0$$ $$x+\dfrac{3}{2}=0 \quad \text{lub} \quad x-\sqrt{5}=0 \quad \text{lub} \quad x+\sqrt{5}=0$$ $$x=-\dfrac{3}{2} \quad \text{lub} \quad x=\sqrt{5} \quad \text{lub} \quad x=-\sqrt{5}$$ $$x \in \{-\sqrt{5},-\dfrac{3}{2},\sqrt{5}\}$$

Odp. PF
Znajdujemy miejsce zerowe funkcji $f$: $$0=-\dfrac{1}{6}x+\dfrac{2}{3}$$ $$\dfrac{1}{6}x=\dfrac{2}{3} \hspace{1.5cm}$$ $$x=4 \hspace{1.3cm}$$ Funkcja dla argumentu $x=0$ przyjmuje wartość $$f(0)=-\dfrac{1}{6}\cdot0+\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{3}$$

Odp. D.
Zbiór wartości funkcji $f$ odczytujemy z wykresu. Najmniejsza wartość funkcji $f$ to wartość w wierzchołku paraboli równa $y = \text{-}2$. Ramiona paraboli są skierowane do góry, więc każde $y$ większa od $\text{-}2$ również jest wartością funkcji $f$.

Odp. $(2,6)$
Wartości ujemnych funkcji $f$ szukamy na wykresie tam, gdzie parabola leży poniżej osi $Ox$. Wartości ujemne funkcja $f$ przyjmuje dla $x \in (2,6)$.

Odp. A. oraz B.
Korzystamy z wiedzy o postaci iloczynowej i postaci kanonicznej funkcji kwadratowej.
Z wykresu odczytujemy pierwiastki funkcji $f$: są to $x_1=2$ i $x_2=-4$. $$f(x)=a(x-2)(x+4)$$ Z wykresu odczytujemy współrzędne wierzchołka paraboli: $(4,-2)$. $$f(x)=a(x-4)^2-2 \hspace{0.4cm}$$ Współczynnik $a$ wyliczamy z równania $f(0)=6$ (punkt $(0,6)$ należy do wykresu funkcji $f$). $$6=a(0-4)^2-2$$ $$8=16a \hspace{1.5cm}$$ $$a=\dfrac{1}{2} \hspace{1.8cm}$$

Odp. B.
Korzystamy z wiedzy o przekształcaniu wykresu funkcji.
Dodanie liczby $1$ do argumentu funkcji przesuwa wykres funkcji o jeden w lewo.

Uwaga: Każdy punkt funkcji $f$ przesuwamy o jeden w lewo, więc wystarczy skupić się na jednym, np. na wierzchołku paraboli. Jeśli wcześniej wierzchołek miał współrzędne $(4,-2)$, to po przesunięciu ma współrzędne $(3,-2)$.

Odp. D.
Korzystamy z wiedzy o funkcji wykładniczej.
Obliczamy wartość funkcji $T$ dla $x=20$: $$T(20) = 78 \cdot 2^{−0,05\cdot20} + 22 = 78 \cdot 2^{−1} + 22 =61\text{ }^{\circ}\text{C}$$

Odp. A.
Korzystamy z wiedzy o ciągu arytmetycznym.
$$a_6=a_3+3r \hspace{0.2cm}$$ Obliczamy różnicę ciągu $(a_n)$: $$a_2+r=a_3 \hspace{1.5cm}$$ $$r=a_3-a_2$$ $$\hspace{0.3cm} r=9-4=5$$ Obliczamy szósty wyraz ciągu $(a_n)$: $$ a_6=9+3\cdot5=24$$

Odp. PF
Korzystamy z wiedzy o ciągach liczbowych.
$$a_1=S_1=4 \cdot (2^1-1)=4 \hspace{0.8cm}$$ $$\hspace{0.3cm} a_2=S_2-S_1=4 \cdot (2^2-1) - 4 = 8$$

Odp. A.
Korzystamy z własności trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego. $$(1-2a)\cdot48=12^2 \hspace{0.6cm}$$ $$1-2a=3$$ $$\hspace{1.1cm} a=-1$$

Odp. 16.1. B. oraz 16.2. D.
Korzystamy ze wzorów na funkcje trygonometryczne dowolnego kąta.
Jeśli ramię kąta $\alpha$ przecina punkt o współrzędnych $(x,y)$ oraz $r = \sqrt{x^2+y^2}$, to
w podpunkcie B. : $$\tg\alpha=\dfrac{y}{x}=\dfrac{2}{-3}=-\dfrac{2}{3} \hspace{1.1cm}$$ w podpunkcie D. : $$\cos\alpha=\dfrac{x}{r}=\dfrac{1}{\sqrt{1^2+3^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}} \hspace{0.5cm}$$

Odp. C.
Korzystamy z jedynki trygonometrycznej i wzoru na tangens: $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ oraz $\tg\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
$$\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha \hspace{1.4cm}$$ $$\cos^2\alpha=1-\left(\dfrac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 \hspace{1.1cm}$$ $$\hspace{2.5cm} \cos^2\alpha=1-\dfrac{5}{9}=\dfrac{4}{9}\text{, } \alpha\text{ - ostry, więc} \cos\alpha>0$$ $$\cos\alpha=\dfrac{2}{3} \hspace{2.5cm}$$ $$\tg\alpha=\dfrac{\dfrac{\sqrt{5}}{3}}{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{\sqrt{5}}{\cancel{3}} \cdot \dfrac{\cancel{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$$

Odp. D.
Korzystamy z równania kierunkowego prostej i warunku na prostopadłość prostych.
Proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $-1$.
Z równania $\dfrac{3}{2} \cdot a_k = -1$ wyliczamy $a_k=-\dfrac{2}{3}$. $$k{:}\hspace{0.2cm}y=-\dfrac{2}{3}x+b \hspace{1.2cm}$$ Prosta $k$ przechodzi przez punkt $(6,0)$: $$0=-\dfrac{2}{3}\cdot6+b \hspace{0.5cm}$$ $$0=-4+b \hspace{1cm}$$ $$b=4 \hspace{1.8cm}$$

Odp. B.
Korzystamy z równania kierunkowego prostej i warunku na równoległość prostych.
Proste są równoległe, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe.
$$-\dfrac{1}{2}=2m-1$$ $$\dfrac{1}{2}=2m \hspace{0.3cm}$$ $$m=\dfrac{1}{4} \hspace{0.5cm}$$

Odp. A.
Korzystamy z równania okręgu.
Okrąg jest styczny do osi $Ox$, więc długość promienia okręgu jest równa $r=2$. $$(x-4)^2+(y-(-2))^2=2^2$$ $$\hspace{0.4cm} (x-4)^2+(y+2)^2=4$$

Odp. D.
Korzystamy ze wzoru na odległość między punktami i ze wzoru na pole trójkąta równobocznego.
$$|KL|=\sqrt{(-1-(-7))^2+(4-(-2))^2}=\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{72}$$ $|KL|=a$ jest długością boku trójkąta równobocznego $KLM$. $$P=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} \hspace{1.3cm}$$ $$P=\dfrac{72\sqrt{3}}{4}=18\sqrt{3}$$

Odp. B.
Korzystamy z wiedzy o kącie wpisanym i środkowym.
$$k \perp AC$$ $$|\angle BAC|=90^\circ-32^\circ=58^\circ$$ $\angle BAC$ jest kątem wpisanym, $\angle BOC$ jest kątem środkowym - oba oparte na tym samym łuku wyznaczonym przez cięciwę $BC$. $$|\angle BOC| = 2 \cdot 58^\circ = 116^\circ$$

Odp. C.
Korzystamy z wiedzy o kątach i przekątnych w rombie oraz o funkcjach trygonometrycznych.

Szukane: $P$ - pole rombu $ABCD$ $$P=\dfrac{|AC| \cdot |BD|}{2}$$ Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym. Punkt przecięcia oznaczamy S. $$\tg30^\circ = \dfrac{|BS|}{|AS|}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$$ Przekątne rombu dzielą się na połowy, więc $|AS| = \dfrac{1}{2} \cdot 12 = 6$. $$\dfrac{|BS|}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3} \hspace{0.2cm}$$ $$|BS|=2\sqrt{3}$$ $$|BD|=4\sqrt{3}$$ $$P=\dfrac{12 \cdot 4\sqrt{3}}{2}=24\sqrt{3}$$

Odp. $r=7$. Korzystamy z wiedzy o kącie środkowym i wpisanym oraz o trójkątach podobnych.
$$|\angle ABD|=|\angle ACD| \text{, kąty wpisane oparte na tym samym łuku } AD$$ $$|\angle BAC|=|\angle BDC|\text{, kąty wpisane oparte na tym samym łuku } BC$$ $$|\angle APC|=|\angle BPD| \text{, kąty wierzchołkowe } \hspace{3.7cm}$$ Trójkąty $ACP$ i $BPD$ są podobne na podstawie cechy $KKK$ (kąt-kąt-kąt). $$\dfrac{|PA|}{|PD|}=\dfrac{|PC|}{|PB|}$$ $$\dfrac{|PA|}{5}=\dfrac{8}{4} \hspace{0.5cm}$$ $$|PA|=10 \hspace{0.3cm}$$ $$|AB|=|AP|+|PB|=10+4=14$$ Promień $r$ okręgu $\mathcal{O}$ jest równy $$r = \dfrac{1}{2}|AB| = \dfrac{1}{2} \cdot 14 = 7$$

Odp. A.
Korzystamy z wiedzy o sześcianie i pojęcia kąta między prostą a płaszczyzną.
Suma odległości punktu $P$ od dwóch przeciwległych ścian równa jest długości jednej krawędzi. Są trzy pary przeciwległych ścian, więc suma odległości punktu $P$ od wszystkich ścian sześcianu jest równa $3 \cdot 5 = 15$.

Odp. $h_2 = 10$.
Korzystamy ze wzoru na objętość ostrosłupa i ze wzoru na tangens kąta ostrego.

Szukane: $h_2$ - wysokość ściany bocznej ostrosłupa, $h_2 > 0$
Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat. Bok kwadratu oznaczamy $a$. $$P=\dfrac{1}{3}a^2h = 384$$ $$\tg\alpha=\dfrac{\,h\,}{\dfrac{a}{2}}=\dfrac{4}{3} \hspace{0.3cm}$$ $$\hspace{0.9cm} 3h=4\dfrac{a}{2}$$ $$\hspace{1cm} h=\dfrac{2}{3}a$$ $$\hspace{1cm} a=\dfrac{3}{2}h$$ Wyliczamy $h$ i $a$: $$\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{9h^2}{4}h = 384 \hspace{1cm}$$ $$h^3 = 512$$ $$h = 8 \hspace{0.2cm}$$ $$a = 12$$ Wyliczamy $h_2$ z twierdzenia Pitagorasa: $$h_2^2 = h^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2$$ $$\hspace{0.5cm} h_2^2 = 64 + 36 = 100$$ $$h_2 = 10$$

Możliwe pierwsze trzy cyfry numeru to: $963$, $852$, $741$ lub $630$ ($4$ możliwości).
Na pozostałych trzech miejscach możemy umieścić $7 \cdot 6 \cdot 5 = 210$ różnych cyfr, bo trzy z dziesięciu już wykorzystaliśmy.
Korzystamy z reguły mnożenia.
Wszystkich numerów jest $4 \cdot 210 = 840$.

Odp. D.
A - zdarzenie polegające na tym, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest liczbą nieparzystą.
Korzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia:
$$P(A)=\dfrac{|A|}{|\Omega|}$$ $${|\Omega|}=6^2=36$$ Iloczyn dwóch liczb jest liczbą nieparzystą pod warunkiem, że obie liczby - czynniki - są nieparzyste. Zdarzenia sprzyjające to takie,
w których w obu rzutach wyrzucamy $1$, $3$ lub $5$ oczek. $$|A| = 3 \cdot 3 = 9 = 27$$ $$P(A)=\dfrac{9}{36}=\dfrac{1}{4}$$

Odp. C.
A - zdarzenie polegające na tym, że wylosowane jabłko spełnia normę.
Korzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia:
$$P(A)=\dfrac{|A|}{|\Omega|}$$ $$|A| = 8 + 17 + 11 = 36 \hspace{0.4cm}$$ $$\hspace{0.6cm} |\Omega| = 2 + 6 + 36 + 3 + 3 = 50$$ $$P(A) = \dfrac{36}{50} = \dfrac{18}{25}$$

Odp. A. 3.
Korzystamy z wiedzy o dominancie.

Pole trapezu wyraża się wzorem: $$\dfrac{(a+b)h}{2}$$ Pole okna w kształcie trapezu: $$P=\dfrac{(12 + 18 -h)}{2}h=\dfrac{h(30-h)}{2}$$ Funkcja pola zmiennej $h$: $$P(h)=\dfrac{h(30-h)}{2}$$ Wyznaczamy dziedzinę funkcji P. Pole jest dodatnie: $$D=(0,30)$$
Pole jest największe dla $h=15 \text{ dm}$.
Długość krótszej podstawy jest wtedy równa: $18-15=3 \text{ dm}$